4.1 Movimiento lineal
Existen dos tipos de colisiones o choques :
* Choques elasticos: No hay deformacion
* Choques inelasticos: Hay deformacion total
Componentes de movimientos de la ley de la conservacion
Particula 1 Po
antes de la colision
Particula 2 Po'
Particula 1 P
despues de la colision
Particula 2 P'
Particula Po, Po' van a colisionar en un espacio R3 (x,y,z)
(Poxi + Poyj + Pozk) + (Po'xi + Po'yj + Po'zk)
(Pxi + Pyj + Pzk) + (P'xi + P'yj + P'zk)
Agrupando terminos
(Pox + Po'x) i + (Poy + Po'y) j + (Poz + Po'z) k
(Px + P'x) i + (Py + P'y) j + (Pz + P'z) k
Igualando terminos en componentes
Pox + Po'x = Px + P'x
Poy + Po'y = Py + P'y
Poz + Po'z = Pz + P'z
¿Que afirman estas ecuaciones ?
Estas 3 ecuaciones afirman que en una colision se conserva el momento en la direccion de x, de modo semejante se conserva el momento paea las direcciones y, z. Las componentes del momento se conservan en una colision.
Colisiones elasticas e inelasticas
m1v1 i + m2v2 i = m1v1 f + m2v2 f
antes de la colision despues de la colision
Ecuacion de la conservacion del momento de un pendulo balistico
V= (m+ M)/ m √2gh
Colisiones perfectamente elasticas en una dimension
Colisiones por alcance
V1i + V2i = V2f + V1f
Centros de masa
En cuestiones de movimiento de sistemas complejos es peferible describir el movimiento de la posicion del centro de masa. La posicion del centro de masa se define de la siguiente manera:
Supongase que un objeto consta de N particulas con masas de m1, m2, m3....mn.
La coordenadas de estas particulas en el eje x se definen como x1, x2, x3.....xn.
Entonces las coordenadas x del centro de masa se definen como
Xcm = (x1m1 + x2m2 + x3m3……xnmn)/m1+ m2+ m3……mn
Ycm =( y1m1 + y2m2 + y3m3……ynmn)/m1+ m2+ m3……mn
Zcm = (z1m1 + z2m2 + z3m3……znmn)/m1+ m2+ m3……mn
Como sumatoria se expresa
Xcm= Σ x1m1 / Σ m1
Ycm= Σ y1m1/ Σ m1
Zcm= Σ z1m1/Σ m1
En el caso de una figura regular, el centro de masa se encuentra en su centro geometrico.
En el caso de un objeto irregular, el centro de masa se encuentra en su punto de equilibrio.
¿Cuanto vale el centro de masa de este sistema?
Xcm= (mb+(2m)(b+a)+(3m)b) / m+2m+3m = b + a/3
Ycm= (0+0+ 3m(-a)) / m+2m+3m = -a/2
Desplazamiento angular
Grados, vueltas, revoluciones, radianes
1 revolucion= 2 π radianes =360°
1 radian= 360°/ 2 π = 360°/2(3.1416) = 57.3° , 1 revolucion/ 2 π radianes
desplazamiento angular en radianes= 2 π por despalazamiento angular en revoluciones
velocidad angular de un cuerpo (ω)
Se expresa como el movimiento de rotacion en todo un eje, que tambien se puede expresar como la variacion de desplazamiento angular que ocurre en una unidad de tiempo.
rad/s
grados/s
rev/s = (rps)
rev/min = (rpm)
Ecuacion de la velocidad angular media.
ω = rad/s =desplazamiento angular/ tiempo invertido en el desplazamiento
ω = rad/s = θ/t
1 rev/s = 2 π rad/s
ω(rad/s) = 2 π * rev/s = 2 π f
f= rev/s
donde f = frecuencia
La aceleracion angular de un cuerpo en movimiento de rotacion en torno a un eje es la variacion que experimenta su velocidad angular en unidad de tiempo se expresa en radianes por segundo cada segundo. Si la velocidad angular de un cuerpo varia uniformemente tenemos entonces la siguiente ecuacion:
α (rad/s2 ) =( rad/s) / t
= (ωf - ωo) / t
ω(rad/s) velocidad angular promedio
rad/s2 = radianes por segundo, cada segundo
α= aceleracion angular
ωo= velocidad angular inicial ωf= velocidad angular final
t= tiempo
P1=P2
P1>P2
P1
Distancia
S= θr
En terminos de movimiento rotacional
S= longitud de arco
Velocidad rotacional
V=ωr
V= velocidad lineal
a=αr
a= aceleracion lineal
θ= radianes
ω= rad/s
α= rad/s2
Ecuaciones de moviento de rotacion
Vf=Vo + af = velicidad final
ωf= ωo + αt
S= Vof+ 1/2 at2
V2t= V2o + 2 aS
ω2t= ω2o + 2αθ
Partiendo del reposo
Vo= θ
Vf= at
ωf= αt
S=1/2 at2
θ= 1/2 α t2
V2t= 2 aS
ω2t= 2αθ
Fuerza Centrifuga y Centripeta
Definicion movimiento de rotacion uniforme :Es el movimiento de un cuerpo que recorre una circunferencia con una velocidad lineal de modulo constante
Aceleracion Centripeta : Ocurre cuando la direccion del vector aceleracion es perpendicular a la direccion de la velocidad y su sentido es hacia el centro de la circunferencia (de no ocurrir asi existiria una componente de aceleracion de la velocidad y el modulo de la velocidad no se mantendria constante).
a=(velocidad inicial del cuerpo)2 / radio de la trayectoria circular
a= V2 /r
otras expresiones
a=V2 /r = (2πrf)2 /r = 4π2 f2 r
V2 /r= 4π2 f2 r
f= velocidad angular del cuerpo (rev/s)
a=V2 /r= ω2/r = ω2 r
Momentos de Inercía
El trabajo w realizado por una constante L sobre un solido en rotacion es igual al producto del momento del par por el desplazamiento angular.
w= Lθ
w(kpm)= L (mkp) * θ rad
El incremento del imppeto angular producido por un impulso angular es igual a dicho impulso es decir si un par L actua sobre un solido durante un tiempo t. Le ocasiona una variacion de su velocidad angular que para de un valor inicial a un valor final.
I= impulso angular= variacion del impeto angular
z= L= Momento de par
t= tiempo de aplicacion del par
I = L*t
Lt= I(wf-wi)
Tabla de formulas momentos de inercia de solidos simetricos
I= mr2 masa pequeña situada a una distancia r del eje de rotacion
I= 1/2 mr2 cilindro solido uniforme, disco de masa m y radio r
I= 1/2 mL2 Barra del grado uniforme de masa m y longitud L
I= 1/2 m(L2 + b2) Placa ractangular uniforme masa m, base b, longitud L
I= 2/5 mr2
Esfera masiza; masa=m, radio=r
Una helice de avion pesa 70 kg y tiene un radio de giro de 0.5m. Hallar el momento de inercia y el momento del por que comunique una aceleracion angular de 25 rad/seg.
I= mk2
k=radio de giro(expresa como area)
I= momento de inercia
m= masa del objeto
kp-masa que interactua con la gravedad
I= mk2
m= 70/9.8 kg/m/s2
m= 7.1 utm* 0.25x
I= 1.78 utm * m2 (0.5)2
m=1.78 kg/ms2 * 0.25m2
I= 1.78 kgm/ s2
utm= unidades tecnicas de masa
Ecuacion del momento par
L= Iα
L=1.78 utm * m2
α= 25 rad/seg
L=(1.78 utm * m2 ) (25 rad/s2 )
L= 44.6 mkp
helice con radio de 0.4m
masa= 65kg
α=25 rad/ s
I= 65/9.5 kg/m/s2
I= (6.63 utm)* (0.16m2 )
I=1.0608 kgm/s2
L=Iα
L= 1.0608 utm *m2
α= 25 rad/s
L= (1.0608 utm*m2 )(25 rad/s2 )
L= 26.5 mkg
